Question

（理科）数列{a_n}满足，a₁=1，a_n+1

1 a 2 n +4

=1，记S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，若S_2n+1-S_n≤

m

30

对任意的n∈N^*恒成立，则正整数m的最小值为（　　）

• A、10
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知推导出{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，从而得到an2=

1

4n-3

，由（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=

1

4n-1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，得数列{S_2n+1-S_n}，n∈N^*的最大项为S3-S1=a22+a32=

1

5

+

1

9

=

14

45

，由此求出m≥

28

3

，从而求出正整数的最小值为10．

解答： 解：∵a_n+1

1 a 2 n +4

=1，∴an+12(

1

an2

+4)=1，
∴

1

an+12

=

1

an2

+4，∴

1

an+12

-

1

an2

=4，n∈N^*，
∵a₁=1，∴

1

a12

=1，
∴{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴

1

an2

=1+4(n-1)=4n-3，
∴an2=

1

4n-3

，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（an+12+an+22+…+a2n+12）-（an+22+an+32+…+a2n+32）
=an+12-a2n+22-a2n+32
=

1

4n-1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}，n∈N^*是递减数列，
∴数列{S_2n+1-S_n}，n∈N^*的最大项为：
S3-S1=a22+a32=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∵

14

45

≤

m

30

，∴m≥

28

3

，
∵m是正整数，∴m的最小值为10．
故选：A．

点评：本题考查满足条件的正整数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、数列的单调性和等差数列的性质的合理运用．