Question

19.如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD;

（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论.

Answer 1

19.（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,所以AB=AD =AC=a.

在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²,知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD.所以PA⊥平面ABCD.

（Ⅱ）解:作EG∥PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD,知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC.

∠EHG为二面角θ的平面角.

又PE∶ED=2∶1,

所以EG=a,AG=a,GH=AGsin60°=a.

从而tanθ==,θ=30°.

（Ⅲ）解法一:以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

A（0,0,0），B（a,－a,0），C（a,a,0），D（0,a,0）,P（0,0,a），E（0,a,a）.

所以=（0,a,a）,=（a,a,0）,

=（0,0,a）,=（a,a,－a）,

=（－a,a,a）.

设点F是棱PC上的点，=λ=（aλ,aλ,－aλ）,其中0＜λ＜1,则

=+=（－a,a,a）+（aλ,aλ,－aλ）

=（a（λ－1）,a（1+λ）,a（1－λ））.

令=λ₁+λ₂,得

　即

解得λ=,λ₁=－,λ₂=.

即λ=时，=－+.

亦即，F是PC的中点时，、、共面.

又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.

解法二:当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下.

证法一:取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE.                                ①

由EM=PE=ED,知E是MD的中点.

连结BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点.

所以BM∥OE.                                                                                   ②

由①、②知，平面BFM∥平面AEC.

又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC.

证法二

因为 = +=+ （+）

=++

=+（－）+（－）

=－,

所以、、共面.

又BF平面AEC，从而BF∥平面AEC.