Question

如图，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．
（1）若点B（-

3

5

，

4

5

），求tan（2θ+

π

4

）的值；
（2）若

OA

+

OB

=

OC

，四边形OACB的面积用S_θ表示，求S_θ+

OA

•

OC

的取值范围．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意利用任意角的三角函数的定义可得tanθ=

y

x

的值，可得tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

 的值，进而求得tan（2θ+

π

4

）的值．
（2）由题意可得四边形OACB为菱形，求得S_θ+

OA

•

OC

=1×sin（π-θ）+

OA

•(

OA

+

OB

)=1+

2

sin（θ+

π

4

），根据 0＜θ＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得S_θ+

OA

•

OC

的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可得tanθ=

y

x

=

4 5

- 3 5

=-

4

3

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

24

7

．
∴tan（2θ+

π

4

）=

tan2θ+1

1-tan2θ×1

=-

31

17

．
（2）∵

OA

+

OB

=

OC

，OA=OB，则四边形OACB为菱形，它的面积用S_θ表示，
则 S_θ+

OA

•

OC

=1×sin（π-θ）+

OA

•(

OA

+

OB

)=sinθ+1+1×1×cosθ
=1+sinθ+cosθ=1+

2

sin（θ+

π

4

）．
∵0＜θ＜π，∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，
∴-

2

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1，1+

2

sin（θ+

π

4

）∈（0，1+

2

]．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正弦、正切公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题