Question

【题目】已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．
（1）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
（2）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+3|x﹣a|= ，

∴f′（x）= ，

①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，

∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，

∴M（a）﹣m（a）=8；

②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，

∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，

∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，

∴﹣1＜a≤ 时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；

＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；

③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，

∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，

∴M（a）﹣m（a）=4；

（2）解：令h（x）=f（x）+b，则h（x）= ，h′（x）= ，

∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，

∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，

由（Ⅰ）知，

①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；

②﹣1＜a≤ 时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，

令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0， ）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，

∴﹣2≤3a+b≤0；

③ ＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣ ＜3a+b≤0；

④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．

综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0

【解析】（1）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（2）令h（x）=f（x）+b，则h（x）= ，h′（x）= ，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．