Question

已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为

1

2

．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P在动点M的曲线上．求|PO|²+|PA|²的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设动点M（x，y），由已知条件得

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，由此能求出动点M的轨迹方程．
（Ⅱ）由题意知|PO|²+|PA|²=x²+y²+（x-3）²+y²，由此能求出|PO|²+|PA|²的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设动点M（x，y），
∵动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为

1

2

，
∴

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，
化简，得（x+1）²+y²=4．
∴动点M的轨迹方程是（x+1）²+y²=4．
（Ⅱ）∵点P在动点M的曲线上．
∴|PO|²+|PA|²=x²+y²+（x-3）²+y²
=-10x+15，
∵-3≤x≤1，
∴5≤-10x+15≤45，
∴|PO|²+|PA|²的取值范围是[5，45]．

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查两线段平方和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．