Question

已知函数f（x）=-（x+2）（x-m）（其中m＞-2）．g（x）=2^x-2．
（Ⅰ）若命题“log₂g（x）≥1”是假命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）设命题p：?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；命题q：?x∈（-1，0），f（x）g（x）＜0．若p∧q是真命题，求m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（I）由于命题“log₂g（x）≥1”是假命题，可得log₂g（x）＜1，即log2(2x-2)＜1，利用对数函数和指数函数的单调性即可得出x的取值范围；
（II）由于p∧q是真命题，可得p与q都是真命题．由于当x＞1时，g（x）＞0，又p是真命题，可得f（x）＜0．由f（1）＜0，可得m＜1．当-1＜x＜0时，g（x）＜0．由于q是真命题，则?x∈（-1，0），使得f（x）＞0，利用f（-1）＞0，可得m的取值范围．

解答： 解：（I）∵命题“log₂g（x）≥1”是假命题，则log₂g（x）＜1，即log2(2x-2)＜1，∴0＜2^x-2＜2，解得1＜x＜2．
∴x的取值范围是（1，2）；
（II）∵p∧q是真命题，∴p与q都是真命题．
当x＞1时，g（x）=2^x-2＞0，又p是真命题，则f（x）＜0．
f（1）=-（1+2）（1-m）＜0，解得m＜1．
当-1＜x＜0时，g（x）=2^x-2＜0．
∵q是真命题，则?x∈（-1，0），使得f（x）＞0，
∴f（-1）=-（-1+2）（-1-m）＞0，即m＞-1．
综上所述：-1＜m＜1．

点评：本题综合考查了二次函数和对数函数的单调性、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题．