【题目】设函数,
为正实数.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求证: ;
(3)若函数有且只有
个零点,求
的值.
【答案】(1)(2)详见解析(3)
.
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得,所以先求导数
,代入即得
,又
,由点斜式得切线方程
(2)由于
,所以转化为证明
恒成立,即
,转化为利用导数求函数最值
(3)因为
,而
先增后减,且
,所以
必为最大值(极大值),解得
,最后证明当1不为极值点时,
的零点不唯一.
试题解析:(1)当时,
,则
,……………2分
所以,又
,
所以曲线在点
处的切线方程为
.…………4分
(2)因为,设函数
,
则, …………………………………………………6分
令,得
,列表如下:
极大值 |
所以的极大值为
.
所以.………………………………………………8分
(3),
,
令,得
,因为
,
所以在
上单调增,在
上单调减.
所以.………………………………………………10分
设,因为函数
只有1个零点,而
,
所以是函数
的唯一零点.
当时,
,
有且只有
个零点,
此时,解得
.…………………………………………12分
下证,当时,
的零点不唯一.
若,则
,此时
,即
,则
.
由(2)知, ,又函数
在以
和
为端点的闭区间上的图象不间断,
所以在和
之间存在
的零点,则
共有2个零点,不符合题意;
若,则
,此时
,即
,则
.
同理可得,在和
之间存在
的零点,则
共有2个零点,不符合题意.
因此,所以
的值为
.…………………………………………………16分
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【题目】下列说法:
①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;
②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A的概率;
③百分率是频率,但不是概率;
④频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;
⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
其中正确的是____(填序号).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个学生在一次竞赛中要回答道题是这样产生的:从
道物理题中随机抽取
道;从
道化学题中随机抽取
道;从
道生物题中随机抽取
道.使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为
,化学题的编号为
,生物题的编号为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差;
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,已知点
的直角坐标为
,若直线
的极坐标方程为
.曲线
的参数方程是
(
为参数).
(1)求直线和曲线
的普通方程;
(2)设直线和曲线
交于
两点,求
.
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【题目】某次考试中,语文成绩服从正态分布,数学成绩的频率分布直方图如下:
(Ⅰ)如果成绩大于135的为特别优秀,随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人?(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)
(Ⅱ)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人,从(Ⅰ)中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人,设3人中两科都特别优秀的有人,求
的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据以上数据,是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.
(附公及表)
①若,则
,
;
②,
;
③
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