Question

20．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，AA₁=5，D是线段AB的中点，记$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$（0＜λ＜1）．
（1）求λ为何值时，B₁F⊥BC₁；（2）当λ=$\frac{2}{5}$时，求B₁F和平面DFC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，求出B₁F与BC₁对应的向量，利用直线垂直转化为向量积为0，解方程即可．
（2）求出平面的法向量，利用向量法求出平面的法向量，利用直线和平面所成角的定义与向量数量积的关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，
∴满足AB²=AC²+BC²，
即AC⊥BC，
建立以C为坐标原点，CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，5），D（1，1，0），
A₁（2，0，5），B₁（0，2，5），
则$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，5），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，5），
记$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，5λ），故F（2，0，5λ），
则$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（2，-2，5λ-5），
∵B₁F⊥BC₁，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}F}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（2，-2，5λ-5）•（0，-2，5）=0，
即4+5（5λ-5）=0，
得λ=$\frac{21}{25}$．
（2）当λ=$\frac{2}{5}$时，F（2，0，2），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（-2，2，3），
则平面DCF中，$\overrightarrow{CF}$=（2，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（1，1，0），
设平面DCF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CF}$=2x+2z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=x+y=0，
令y=-1，得x=1，z=-1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设B₁F和平面DFC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{F{B}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{F{B}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{F{B}_{1}}|}$|=|$\frac{-2-2-3}{\sqrt{3}•\sqrt{4+4+9}}$|=$\frac{7}{\sqrt{3}•\sqrt{17}}$=$\frac{7\sqrt{51}}{51}$．

点评 本题主要考查直线垂直的判断以及线面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明直线垂直以及求空间线面角是解决本题的关键．