Question

16．已知函数f（x）=x²，数列{a_n}满足a_n+1=2f（a_n-1）+1，且a₁=3，a_n＞1．
（1）设b_n=log₂（a_n-1），证明：数列{b_n+1}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得${a_{n+1}}-1=2{（{a_n}-1）^2}$，再由题设可得b_n+1+1，整理可得b_n+1+1=2（b_n+1），结合a₁=3，a_n＞1，由等比数列的定义，即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式可得b_n=2ⁿ-1，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：由函数f（x）=x²，数列{a_n}满足a_n+1=2f（a_n-1）+1，
有${a_{n+1}}=2{（{a_n}-1）^2}+1$，
∴${a_{n+1}}-1=2{（{a_n}-1）^2}$
∵b_n=log₂（a_n-1），
则${b_{n+1}}+1={log_2}（{a_{n+1}}-1）+1={log_2}2{（{a_n}-1）^2}+1=2（{log_2}（{a_n}-1）+1）=2（{b_n}+1）$，
又∵b₁=log₂（a₁-1）=1，∴b₁+1≠0，从而b_n+1≠0，
∴$\frac{{{b_{n+1}}+1}}{{{b_n}+1}}=2$，
则数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，${b_n}+1={2^n}$，则${b_n}={2^n}-1$，
则${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（{2^1}+{2^2}+…+{2^n}）-n=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-2-n$．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式及求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．