Question

7．当x∈[1，2]时，不等式2^x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+m≤0恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-5]．

Answer 1

分析 把不等式2^x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+m≤0变形为2^x+log₂x≤-m，令f（x）=2^x+log₂x，则f（x）在[1，2]上为增函数，求其最大值后可得-m的范围，进一步得到实数m的取值范围．

解答 解：当x∈[1，2]时，不等式2^x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+m≤0，
即2^x+log₂x≤-m恒成立，
令f（x）=2^x+log₂x，则f（x）在[1，2]上为增函数，
∴$f（x）_{max}=f（2）={2}^{2}+lo{g}_{2}2=5$，
∴-m≥5，则m≤-5．
∴实数m的取值范围是（-∞，-5]．
故答案为：（-∞，-5]．

点评 本题考查恒成立问题，考查了函数单调性的性质，体现了分离变量法，是中档题．