Question

11．已知函数f（x）为偶函数，且满足f（x+1）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x³，则函数ϕ（x）=f（x）-log₃|x-2|的所有零点之和为（　　）

• A． 24
• B． 28
• C． 32
• D． 36

Answer 1

分析 由题目给出的等式及函数是偶函数可得函数的周期为2，再由函数在x∈[-1，0]时，f（x）=-2x³，分析函数ylog₃|x-2|在x=9时的函数值为2，所以两函数图象的交点可知，再根据函数的对称性可得的答案

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
∴满足f（x+2）=f（x），
故函数的周期为2．
当x∈[0，1]时，f（x）=2x³，
故当x∈[-1，0]时，f（x）=-2x³．
在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log₃|x-2|的图象，如图所示，由图象可知，函数ϕ（x）关于x=2对称，
当x＞2时，有8个零点，
故ϕ（x）=f（x）-log₃|x-2|的所有零点之和为8×4=32，
故选：C．

点评 本题考查了函数的周期性与函数的零点，考查了函数周期的求法，解答此题的关键是明确函数ϕ（x）的零点个数就是两函数y=f（x）与y=log₃|x-2|的交点个数．