Question

6．在三棱锥P-ABC中，侧面PAB，侧面PAC，侧PBC两两互相垂直，且$PA：PB：PC=1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$，设三棱锥P-ABC的体积为V₁，三棱锥P-ABC的外接球的体积为V₂，则$\frac{V_2}{V_1}$=（　　）

• A． $\frac{{7\sqrt{14}}}{3}π$
• B． 6π
• C． 3π
• D． $\frac{8}{3}π$

Answer 1

分析 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积V₂．三棱锥P-ABC的体积为V₁即可．

解答 解：∵三棱锥P-ABC中，侧面PAB，侧面PAC，侧PBC两两互相垂直，即三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径；
∵$PA：PB：PC=1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$，设PA=1，则三棱锥P-ABC的体积为V₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
三棱锥P-ABC的外接球的半径R=$\frac{\sqrt{{1}^{1}+（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，体积为V₂=$\frac{4}{3}π{R}^{2}=\sqrt{6}π$，
则$\frac{V_2}{V_1}$=6π．
故选：B

点评 本题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．