Question

16．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点（4，0），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 根据题意，分椭圆的焦点在x轴和焦点在y轴两种情况进行讨论，每种情况下利用椭圆的简单性质直接分析，求出a²、b²的值，代入椭圆的标准方程即可得答案．

解答 解：根据题意，分2种情况讨论：
①、若椭圆的焦点在x轴上，
由题意知a=4，则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=2$\sqrt{3}$，
则有b²=a²-c²=4，
此时椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
②、若椭圆的焦点在y轴上，
由题意知b=4，
有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{c}^{2}=16}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解可得a²=64；
此时椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{64}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1；
故椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1或$\frac{{y}^{2}}{64}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，注意需要对椭圆的焦点位置分情况讨论．