Question

1．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=$\sqrt{3}$，且asinA+csinC-bsinB=asinC
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求a+c的范围（文科求a+c的最大值）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由 asinA+csinC-bsinB=asinC，利用正弦定理可得a²+c²-b²=ac，所以由余弦定理求得 cosB=$\frac{1}{2}$，结合角B的取值范围从而得到B=60°．
（Ⅱ）由正弦定理推知a+c=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）．所以根据正弦函数的值域来求最值．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理及asinA+csinC-bsinB=asinC得a²+c²-b²=ac，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$
又0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵b=$\sqrt{3}$B=$\frac{π}{3}$，
∴$\begin{array}{l}\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2\end{array}$，
∴a+c=2sinA+2sinC
=2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵$\left\{{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}}\right.$，
∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，当且仅当$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，此时A=$\frac{π}{3}$，
∴3＜a+c$≤2\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，求出 cosB的值，是解题的关键．