Question

已知函数f(x)=

a(2x+1)-2

2x+1

．
（1）是否存在实数a使得f（x）为奇函数？若存在，求出a的值并证明；若不存在，说明理由；
（2）在（1）的条件下判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性即可判断出；
（2）先判断函数的单调性，再利用函数的单调性的定义即可证明其单调性．

解答：解：（1）存在a使得函数f（x）为奇函数．
证明：假设存在这样的a的值，∵函数f（x）的定义域为实数集R，∴f（0）=0，∴

2a-2

2

=0，解得a=1．
当a=1时，f（x）=

2x-1

2x+1

．
∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），
∴a=1时，函数f（x）为奇函数．
（2）在（1）的条件下，f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

在实数集R上单调递增．
证明：?x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上单调递增．

点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性是解题的关键．