Question

在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为

2

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面积S的最大值，并判断此时的三角形形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，再利用正弦定理化简已知的等式，变形后代入cosC中，约分后求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）由正弦定理得到c=2rsinC，将已知r及sinC的值代入求出c的长，代入

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

中，整理后再利用基本不等式变形，求出ab的最大值，并求出取得最大值时a=b=

6

，由ab的最大值及sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值，且得到此时a=b，加上C的度数，即可判断出三角形ABC为等边三角形．

解答：解：（Ⅰ）利用正弦定理化简（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB得：a²-c²=ab-b²，
变形得：a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
又C为三角形的内角，
则C=

π

3

；
（Ⅱ）∵

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，又c=2rsinC=2×

2

×

3

2

=

6

，
∴ab=a²+b²-6≥2ab-6，即ab≤6，
∴当a=b=

6

时，（ab）_max=6，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3 3

2

，
又a=b，且C=

π

3

，
则此时△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．