Question

在△ABC中，满足tan

A-B

2

=

a-b

a+b

．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）当a=10，c=10时，求tan

A

2

的值．

Answer 1

分析：（1）根据题设，可推断当a=b和a≠b两种情况．当a=b可推断△ABC为等腰三角形；当a≠b时通过正弦定理及题设，求得cot

A+B

2

的值，进而求出A+B进而推断△ABC的形状．
（2）根据a=c排除△ABC为直角三角形的情况，根据（1）可知a=b，进而推断△ABC为等边三角形，进而求出∠A和tan

A

2

的值．

解答：解：（1）∵tan

A-B

2

=

a-b

a+b

当a=b时，△ABC为等腰三角形
当a≠b时，根据正弦定理

a-b

a+b

=

sinA-sinB

sinA+sinB

=

2cos( A+B 2 )sin( A-B 2 )

2sin( A+B 2 )cos( A-B 2 )

=tan

A-B

2

∴cot

A+B

2

=1，即

A+B

2

=

π

4

，A+B=

π

2

∴△ABC为以C为直角的直角三角形．
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形
（2）a=c=10，排除△ABC为直角三角形，则△ABC为等腰三角形，即a=b，
又a=c=10，所以a=c=b
∠A=60°
故tan

A

2

=tan30°=

3

3

点评：本题主要考查和差化积和同角三角函数的基本关系的应用．属基础题．