Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow{b}$=（1，1），满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≥2且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）≤0，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围是[2，4]．

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算和向量的数量积的运算可得（m-1）²+（n-1）²≤2，设m-1=tcosθ，n-1=tsinθ，0≤t≤$\sqrt{2}$，利用三角函数的性质求出m+n的范围，再根据条件可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=m+n，问题得以解决．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow{b}$=（1，1），
∴$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（m-2，n-2），
由$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）≤0，
∴m（m-2）+n（n-2）≤0；
∴（m-1）²+（n-1）²≤2；
∴设m-1=tcosθ，n-1=tsinθ，0≤t≤$\sqrt{2}$；
∴m+n=t（sinθ+cosθ）+2=$\sqrt{2}$tsin（θ+$\frac{π}{4}$）+2，
∴0≤m+n≤4，
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=m+n，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≥2
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围是[2，4]．
故答案为：[2，4]．

点评 考查向量减法和数乘的坐标运算，以及数量积的坐标运算，cos²θ+sin²θ=1的运用，圆的标准方程和参数方程的转换，以及正弦函数的最值．