Question

2．已知圆心为C的圆：x²+y²+2x-4y+m=0与直线2x+y-3=0相交于A、B两点
（1）若△ABC为正三角形，求m的值；
（2）是否存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圆的圆心和半径，由正三角形的性质，可得C到AB的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，计算可得m的值；
（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，由直线垂直的条件，由直线的交点可得M的坐标，运用两点的距离公式，解方程可得m，进而判断存在．

解答 解：（1）圆：x²+y²+2x-4y+m=0的圆心C（-1，2），
半径为r=$\sqrt{5-m}$，
由△ABC为正三角形，可得C到AB的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
即为$\frac{|-2+2-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{5-m}$，
解得m=$\frac{13}{5}$；
（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．
即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，
即有OM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，
由CM⊥AB，可得CM的方程为y-2=$\frac{1}{2}$（x+1），
联立直线2x+y-3=0，可得M（$\frac{1}{5}$，$\frac{13}{5}$），
即有$\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{169}{25}}$=$\sqrt{5-m-\frac{9}{5}}$，
解得m=-$\frac{18}{5}$．
则存在常数m=-$\frac{18}{5}$，使以AB为直径的圆经过坐标原点．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式和正三角形的性质，以及直角三角形的性质，属于中档题．