Question

5．在△ABC中，A=30°，2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{BC}$²，则△ABC的最大角的余弦值为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 A=30°，利用数量积运算性质可得：2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$cos30°=$\sqrt{3}$bc，又2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{BC}$²，可得bc=$\sqrt{3}{a}^{2}$．利用正弦定理可得：sinBsinC=$\sqrt{3}$sin²A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．于是sinB$sin（\frac{5π}{6}-B）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，化简整理可得：tan2B=$\sqrt{3}$，由于$B∈（0，\frac{5π}{6}）$，即可得出．

解答 解：∵A=30°，2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$cos30°=$\sqrt{3}$bc，2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{BC}$²，
∴$\sqrt{3}$bc=3a²，
∴bc=$\sqrt{3}{a}^{2}$．
∴sinBsinC=$\sqrt{3}$sin²A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴sinB$sin（\frac{5π}{6}-B）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
sinB$（\frac{1}{2}cosB+\frac{\sqrt{3}}{2}sinB）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
化为$\frac{1}{4}sin2B$+$\frac{\sqrt{3}}{4}（1-cos2B）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
化为tan2B=$\sqrt{3}$，
∵$B∈（0，\frac{5π}{6}）$，∴2B∈$（0，\frac{5π}{3}）$．
∴2B=$\frac{π}{3}$，或2B=$\frac{4π}{3}$，
∴B=$\frac{π}{6}$，或B=$\frac{2π}{3}$．
∴A=B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{2π}{3}$．或A=C=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{2π}{3}$．
∴△ABC的最大角的余弦值=$cos\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、正弦定理、和差公式、倍角公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．