Question

2．对于函数f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）+$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|，给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②该函数的值域为[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
③该函数的单调递增区间为[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，[2kπ+$\frac{5π}{4}$，2kπ+2π]；
④该函数关于直线x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z对称，
其中正确命题的序号为（　　）

• A． ①③
• B． ②③④
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 由题意先化简解析式，在同一坐标系中画出y=sinx和y=cosx的图象，由图象和正弦、余弦函数的性质，分别判断四个命题的真假．

解答 解：由题意得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥cosx}\\{cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ]}\\{cosx，x∈（-\frac{3π}{4}+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ）}\end{array}\right.$
（k∈Z），
在同一坐标系中画出y=sinx和y=cosx的图象：
①、f（x+π）=$\left\{\begin{array}{l}{-sinx，sinx≥cosx}\\{-cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$≠f（x），由图象知函数f（x）的最小正周期为2π，①不正确；
②、由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ]}\\{cosx，x∈（-\frac{3π}{4}+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ）}\end{array}\right.$得（k∈Z），
f（x）的值域是$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，②不正确；
③、由正弦和余弦函数的单调性知，
f（x）的递增区间为[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，[2kπ+$\frac{5π}{4}$，2kπ+2π]（k∈Z），③正确；
④、由正弦和余弦函数的图象可得，f（x）关于直线x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z对称，④正确，
综上可得，③④，
故选：C．

点评 本题考查正弦、余弦函数的图象以及性质，由图象和三角函数的性质判断命题的真假．