Question

10．设数列{a_n}的前n项和为A_n，对于任意正整数n，A_n=a_n+1，并且$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=-3，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 对于任意正整数n，A_n=a_n+1，当n≥2时，A_n-1=a_n，可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2．n=1时，a₁=a₂．因此数列{a_n}从第二项起是等比数列，公比为2．根据$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=-3，可得$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{\frac{1}{{a}_{2}}}{1-\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$=-3，解出即可得出．

解答 解：∵对于任意正整数n，A_n=a_n+1，
∴n≥2时，A_n-1=a_n，
相减可得：a_n=a_n+1-a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2．
n=1时，a₁=a₂．
∴数列{a_n}从第二项起是等比数列，公比为2．
∵$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=-3，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{\frac{1}{{a}_{2}}}{1-\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$=-3，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$=-3，
解得a₂=a₁=-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{-{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其极限性质、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．