Question

1．已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，0），B（0，1），C（$\frac{3}{2}$，0），过原点的直线l将△ABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程．

Answer 1

分析 设直线l为y=kx，先先求出直线AB和BC的方程，再分别求出点E，D的纵坐标，根据面积公式得到S_{四边形AEDC}=S_△ODC=-S_△OAE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，即可得到关于k的方程，解得即可．

解答 解：如图：S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$-1）×1=$\frac{1}{4}$，
设直线l为：y=kx，
令直线l交AB于E，交BD于F，则S_{四边形AEDC}=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{8}$．
则直线AB的方程为：y=mx+1，点A在直线上，有0=1×m+1，m=-1．
即y=-x+1，
直线BC的方程为：y=nx+1，点C在直线上，有0=$\frac{3}{2}$n+1，n=-$\frac{2}{3}$．
即y=-$\frac{2}{3}$x+1．
联解方程：y=kx，与y=-x+1，则点E的纵坐标为y_E=$\frac{k}{1+k}$，
联解方程：y=k，与y=-$\frac{2}{3}$x+1，则点D的纵坐标为y_D=$\frac{3k}{2+3k}$．
∴S_{四边形AEDC}=S_△ODC=-S_△OAE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{3k}{2+3k}$-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{k}{1+k}$=$\frac{1}{8}$
化简方程得，
3k²+5k-2=0，
解得k=$\frac{1}{3}$，k=-2（舍去），
故直线l的方程y=$\frac{1}{3}$x．

点评 本题考查直线方程，考查了三角形的面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．