Question

5．在△ABC中，己知点A（2，1），B（2，-8），且它的内切圆的方程为x²+y²=4．求点C的坐标．

Answer 1

分析 由题意画出图形，分别求出三角形另两边AC、BC所在直线方程，然后联立方程组求得C的坐标．

解答 解：如图，
设过A的圆x²+y²=4的另一条切线方程为y-1=k₁（x-2）
即k₁x-y-2k₁+1=0，
由$\frac{|-2{k}_{1}+1|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}=2$，解得${k}_{1}=-\frac{3}{4}$，
∴切线AC所在直线方程为3x+4y-10=0．
设过B的圆x²+y²=4的另一条切线方程为y+8=k₂（x-2），
即k₂x-y-2k₂-8=0，
由$\frac{|-2{k}_{2}-8|}{\sqrt{{{k}_{2}}^{2}+1}}=2$，解得${k}_{2}=-\frac{15}{8}$，
∴切线BC所在直线方程为15x+8y+34=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-10=0}\\{15x+8y+34=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=7}\end{array}\right.$．
∴C点的坐标为（-6，7）．

点评 本题考查圆的切线方程，训练了圆的切线方程的求法，熟记点到直线距离公式是解题关键，是中档题．