Question

已知函数f(x)=log_m
(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；
(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［log_m［m(β–1)］，log_m［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.

Answer 1

（1）x＜–3或x＞3.
∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3
设β≥x₁＞x₂≥α，有
当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.
（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［log_mm(β–1),log_mm(α–1)］
∵0＜m＜1, f(x)为减函数 
∴
即
即α,β为方程mx²+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根
∴  ∴0＜m＜
故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在.