Question

7．设直线l与抛物线y²=4x相交于A，B两点，与圆 （x-5）²+y²=9相切于点M，且M为线段AB中点，则这样的直线l有（　　）条．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 无数条

Answer 1

分析 先确定M的轨迹是直线x=3，直线与圆有两个交点，直线l有两条；斜率不存在时，直线l有2条，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在时，设斜率为k，则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky₀=2，
因为直线与圆相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-5}$=-$\frac{1}{k}$，所以x₀=3，
即M的轨迹是直线x=3．
圆心（5，0）到直线的距离为2＜3，直线与圆有两个交点，直线l有两条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，
故选：C．

点评 本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．