Question

16．（1）已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π）．求tanθ的值．
（2）已知f（α）=$\frac{sin（5π-α）•cos（α+\frac{3π}{2}）•cos（π+a）}{sin（α-\frac{3π}{2}）•cos（α+\frac{π}{2}）•tan（α-3π）}$．化简f（α）．

Answer 1

分析 （1）将已知等式两边平方，可求sinθcosθ的值，结合范围θ∈（$\frac{π}{2}$，π），可求sinθ-cosθ的值，进而解得sinθ，cosθ的值，利用同角三角函数基本关系式即可得解tanθ的值．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．

解答 （本题满分为12分，每小题6分）
解：（1）∵sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，①
∴（sinθ+cosθ）²=$\frac{1}{25}$，
∴1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，即sinθcosθ=-$\frac{12}{25}$，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$，
∵θ∈（0，π），且sinθcosθ＜0，
∴θ∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴sinθ＞cosθ，
∴sinθ-cosθ=$\frac{7}{5}$，②
∴由①②，解得sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，
∴tanθ=-$\frac{4}{3}$．
（2）f（α）=$\frac{sinα•sinα•（-cosα）}{cosα•（-sinα）•tanα}$=cosα．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．