Question

7．已知函数f（x）=ax²+$\frac{2}{x}$（a∈R）为奇函数．
（1）比较f（log₂3）、f（log₃8）、f（log₃26）的大小，并说明理由；（提示：log₂3≈1.59）
（2）若t＞0，且f（t+x²）+f（1-x-x²-2^x）＞0对x∈[2，3]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接由奇函数的概念列式求得a的值；
（2）先比较得到log₃26＞log₃8＞log₂3，再根据f（x）=$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上递减，即可得到答案，
（3）根据函数为奇函数且为减函数得到t+x²＜-1+x+x²+2^x，分离参数，得到t＜2^x+x-1对x∈[2，3]恒成立，再根据函数的单调性即可求出t的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴ax²-$\frac{2}{x}$=-（ax²+$\frac{2}{x}$），
∴2ax²=0，对x∈R恒成立，
∴a=0．
∴f（x）=$\frac{2}{x}$．
∵log₃8＜log₃26，log₃8=3log₃2=$\frac{3}{lo{g}_{2}3}$=$\frac{3}{1.59}$≈1.89
∴log₃8＞log₂3，
∴log₃26＞log₃8＞log₂3，
∵f（x）=$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上递减，
∴f（log₃26）＜f（log₃8）＜f（log₂3），
（2）由f（x）为奇函数可得f（t+x²）＞f（-1+x+x²+2^x），
∵t＞0，x∈[2，3]，
∴t+x²＞0，-1+x+x²+2^x＞0
∵f（x）=$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上递减
∴t+x²＜-1+x+x²+2^x，
即t＜2^x+x-1对x∈[2，3]恒成立．
∵y=2^x+x-1在[2，3]上递增，
∴t＜2²+2-1=5，
又t＞0．
∴0＜t＜5．

点评 本题考查了函数的性质，训练了数学转化思想方法，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，是中档题．