Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明：AD⊥D₁F；
（2）证明：面AED⊥面A₁FD₁；
（3）设AA1=2，求三棱维E-AA1F的体积VE-AA1F．

Answer 1

分析：（1）由正方体的性质可得AD⊥面DC₁ ，故AD⊥D₁F．
（2）由AD⊥D₁F，AE⊥D₁F，证得D₁F⊥面AED，从而证得面AED⊥面A₁FD．
（3）取AB的中点G，三棱锥F-AA₁E的高FG=AA₁=2，由 VE-AA 1 F=VF-AA 1 E=

1

3

•FG•S△AA 1 E 求得结果．

解答：解：（1）证明：∵AC₁是正方体，∴AD⊥面DC₁ ，又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F．
（2）证明：由（1）知AD⊥D₁F，由题意得 AE⊥D₁F，
又AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，
又D₁F?面A₁FD₁，∴面AED⊥面A₁FD．
（3）取AB的中点G，连接GE、GD，∵体积VE-AA1

F

1

=VF-AA1E，又FG⊥面ABB₁A₁，
三棱锥F-AA₁E的高FG=AA₁=2，∴VE-AA 1 F=VF-AA 1 E=

1

3

•FG•S△AA 1 E=

1

3

×2×(

1

2

×2×2)=

4

3

．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明D₁F⊥面AED是解题的关键．