Question

已知复数z₁=sin2x+λi，z2=m+(m-

3

cos2x)i(λ，m，x∈R)，且z₁=z₂．
（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；
（2）设λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调减区间．

Answer 1

分析：（1）由复数相等的充要条件得到关于X的三角函数形式，根据所给的自变量的取值范围，得到结果．
（2）整理出关于X的三角函数形式，后面的问题就变成三角函数的有关性质的运算，求周期和单调区间，实际上，题目做到这里，它可以解决所有的三角函数性质问题．

解答：解：（1）∵Z₁=Z₂
∴sin2x=m，λ=m-

3

cos2x
∴λ=sin2x-

3

cos2x
λ=0，
∴sin2x-

3

cos2x=0，
∴tan2x=

3

∵0＜x＜π
∴x=

π

6

，x=

2π

3

（2）∵λ=f(x)=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）
∴函数的最小正周期是π
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，(k∈Z)
∴f（x）的单调减区间[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

] (k∈Z)．（K∈Z）

点评：在三角函数单调性运算时，要把三角函数经过恒等变形得到可以求解有关性质的形式，这两者结合同三角函数与向量结合一样．