Question

19．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数为f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（{2x+\frac{π}{4}}）$，然后求解函数f（x）的最小正周期．
（ II）利用f（x）在区间$[0，\frac{3π}{8}]$上是减函数，在区间$[\frac{3π}{8}，\frac{π}{2}]$上是增函数，然后求解函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=cos（\frac{π}{3}+x）cos（\frac{π}{3}-x）-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$--------（1分）
=$（\frac{1}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx）（\frac{1}{2}cosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx）-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$----------（2分）
=$\frac{1}{4}{cos^2}x-\frac{3}{4}{sin^2}x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$=$\frac{1+cos2x}{8}-\frac{3-3cos2x}{8}-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$---（3分）
=$\frac{1}{2}（cos2x-sin2x）$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（{2x+\frac{π}{4}}）$------------------（5分）
函数f（x）的最小正周期为 T=π，-------------------（6分）
（ II）因为f（x）在区间$[0，\frac{3π}{8}]$上是减函数，在区间$[\frac{3π}{8}，\frac{π}{2}]$上是增函数，------------（10分）$f（0）=\frac{1}{2}$，$f（\frac{3π}{8}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$f（\frac{π}{2}）=-\frac{1}{2}$，所以f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为$\frac{1}{2}$，
最小值为$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．------------（13分）

点评 本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查计算能力．