Question

9．已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r．
（1）若α=120°，r=6，求扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积S最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用弧长公式即可计算得解．
（2）根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论．

解答 解：（1）∵$a={120^0}=120×\frac{π}{180}=\frac{2π}{3}$，r=6，
∴$l=α•r=\frac{2π}{3}×6=4π$．
（2）设扇形的弧长为l，则l+2r=24，即l=24-2r（0＜r＜12），
扇形的面积$S=\frac{1}{2}l•r=\frac{1}{2}（24-2r）•r=-{r^2}+12r=-{（r-6）^2}+36$，
所以当且仅当r=6时，S有最大值36，此时l=24-2×6=12，
∴$α=\frac{l}{r}=\frac{12}{6}=2$．

点评 本题考查扇形的面积公式和弧长公式的应用，考查了二次函数的图象和性质的应用，属于基础题．