Question

1．数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，a₁=1，若b_n=a_n-2．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，可得a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），即b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1，可得{b_n}是公式为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）求出等比数列{b_n}的通项公式，结合b_n=a_n-2，可得数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，
∴a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），又b_n=a_n-2，
∴b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1，
∴{b_n}是公式为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）解：b₁=a₁-2=-1，
b_n=（-1）×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴${a}_{n}=2-\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等比数列的证明和数列通项公式的求法，注意递推公式的灵活运用，是中档题．