Question

14．请按要求完成下列两题
（Ⅰ）已知a、b、c都为正实数，x、y分别为a与b、b与c的等差中项，且$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}=2$，求证：a、b、c成等比数列．
（Ⅱ）数列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n项和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差数列．
（1）计算S₁，S₂，S₃的值；
（2）根据以上计算结果猜测S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差中项的性质和等比数列的定义即可，
（Ⅱ）（1）根据等差数列的性质可得2S_n+1=S_n+1+2S₁，代值计算即可，
（2）根据（1）的结果，猜想：${S_n}=\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$，并利用数学归纳法证明．

解答 解（Ⅰ）由已知得$x=\frac{a+b}{2}$，$y=\frac{b+c}{2}$，
因为$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}=2$，所以$\frac{a}{{\frac{a+b}{2}}}+\frac{c}{{\frac{b+c}{2}}}=2$，化简得a（b+c）+c（a+b）=（a+b）（b+c），
则b²=ac，所以a、b、c成等比数列．
（Ⅱ）（1）S₁=a₁=1，由已知有2S₂=S₁+2S₁，
得${S_2}=\frac{3}{2}$，又2S₃=S₂+2S₁，得${S_3}=\frac{7}{4}$，
（2）由以上结果猜测：${S_n}=\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$，
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，${S_1}=\frac{{{2^1}-1}}{{{2^{1-1}}}}=1$，猜想成立，
②假设当n=k时猜想成立，则有${S_k}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k-1}}}}$当n=k+1时，因为 2S_k+1=S_k+2S₁
所以$2{S_{k+1}}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k-1}}}}+2=\frac{{{2^{k+1}}-1}}{{{2^{k-1}}}}$所以${S_{k+1}}=\frac{{{2^{k+1}}-1}}{{{2^{（k+1）-1}}}}$
所以n=k+1时猜想成立
所以对任意正整数n，猜想都成立，

点评 本题主要考查数学归纳法的应用，由数列的前n项和求通项公式，属于中档题．