Question

19．设向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算与三角恒等变换，求出函数f（x）的最大值；
（2）利用正弦函数的图象与性质，求出f（x）在[0，π]上的单调增区间．

解答 解 （1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）
=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
=sin²x+cos²x+sinxcosx+cos²x
=1+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$（sin2x+cos2x）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最大值是$\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；…（6分）
（2）∵f（x）=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{2}$，k∈Z，…（9分）
解得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z；
∴函数在[0，π]上的单调增区间为[0，$\frac{π}{8}$]和[$\frac{5π}{8}$，π]…（12分）

点评 本题考查了三角恒等变换与平面向量的数量积应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．