Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2²ⁿ•a_n+2ⁿ²（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=2²ⁿ•a_n+2ⁿ²（n∈N^*）两边同时除以2ⁿ可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n（n+1）}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n（n-1）}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而利用累加法计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=2²ⁿ•a_n+2ⁿ²（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n（n+1）}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n（n-1）}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n（n-1）}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{（n-1）（n-2）}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}$=$\frac{1}{2}$，
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n（n-1）}}$=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）•2^n（n-1）=${2}^{{n}^{2}-n+1}$-${2}^{（n-1）^{2}}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．