Question

如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12

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nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8

3

nmile，货轮由A处向正北方向经过2小时航行到达D处，再看灯塔B在北偏东120°．求：
（I）货船的航行速度
（Ⅱ）灯塔C与D之间的距离（精确到1nmile）．

Answer 1

分析：（I）在三角形ABD中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入求出AD的长，即可确定出货船的航行速度；
（Ⅱ）在三角形ACD中，利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算即可求出CD的长．

解答：解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ADB=60°，∴∠B=45°，
由正弦定理，得

AD

sinB

=

AB

sin∠ADB

，
即AD=

ABsinB

sin∠ADB

=

12 6 × 2 2

3 2

=24（nmile），
则货船的航行速度为V=

24

2

=12nmile/h；
（Ⅱ）在△ACD中，∵AC=8

3

，∠CAD=30°，
∴由余弦定理得CD²=AD²+AC²-2AD•ACcos∠CAD=24²+（8

3

）²-2×24×8

3

cos30°=192，
解得：CD=8

3

≈14（nmile），
则灯塔C与D之间的距离约为14nmile．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．