Question

向量

a

=（cos 23°，cos 67°），向量

b

=（cos 68°，cos 22°）．
（1）求

a

•

b

；
（2）若向量

b

与向量

m

共线，

u

=

a

+

m

，求

u

的模的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，利用三角函数的诱导公式及两角差的余弦公式化简数量积．
（2）利用向量共线的充要条件将

m

用

b

表示，利用向量模的平方等于向量的平方求出

u

的模的平方，利用二次函数最值的求法求出最小值．

解答：解（1）

a

•

b

=cos23°•cos68°+cos67°•cos22°
=cos23°•sin22°+sin23°•cos22°=sin45°=

2

2

．
（2）由向量

b

与向量

m

共线，
得

m

=λ

b

（λ∈R），

u

=

a

+

m

=

a

+λ

b

=（cos23°+λcos68°，cos67°+λcos22°）
=（cos23°+λsin22°，sin23°+λcos22°），
|

u

|²=（cos23°+λsin22°）²+（sin23°+λcos22°）²
=λ²+

2

λ+1=(λ+

2

2

)2+

1

2

，
∴当λ=-

2

2

时，|u|有最小值为

2

2

．

点评：本题考查向量的数量积公式、向量共线的充要条件、三角函数的诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二次函数的最值的求法．