【题目】已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为
,直线l:x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.
(I)求椭圆C的方程和点T的坐标;
(Ⅱ)O为坐标原点,与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A,B,直线l′与直线l交于点P,试判断是否为定值,若是请求出定值,若不是请说明理由.
【答案】(I)+
=1,T(1,
); (Ⅱ)见解析.
【解析】
(I)由椭圆的离心率为得到 b2=
a2,根据直线l:x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T得到△=0,解得a2=4,b2=3,即得椭圆的方程. (Ⅱ)先计算出|PT|2=
t2,|PA|=
=
|
﹣x1|,|PB|=
|
﹣x2|,再计算
=
为定值.
(I)由椭圆的离心率e==
=
,则b2=
a2,
则,消去x,整理得:
y2﹣16y+16﹣a2=0,①
由△=0,解得:a2=4,b2=3,
所以椭圆的标准方程为:+
=1;所以
=
,则T(1,
),
(Ⅱ)设直线l′的方程为y=x+t,由
,解得P的坐标为(1﹣
,
+
),
所以|PT|2=t2,
设设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去y整理得x2+tx+
﹣1=0,
则x1+x2=﹣t,x1x2=,△=t2﹣4(
﹣1)>0,t2<12,
y1=x1+t,y2=
x2+t,|PA|=
=
|
﹣x1|,
同理|PB|=|
﹣x2|,
|PA||PB|=|(
﹣x1)(
﹣x2)|=
|
﹣
(x1+x2)+x1x2|,
|
﹣
(﹣t)+
|=
t2,所以
=
=
,
所以=
为定值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB, AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,侧棱AA1⊥平面ABCD.且点M是AB1的中点
(1)证明:CM∥平面ADD1A1;
(2)求点M到平面ADD1A1的距离.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的焦距为
,离心率为
,其右焦点为
,过点
作直线交椭圆于另一点
.
(Ⅰ)若,求
的面积;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆
相交于两点
、
,设
为
上一点,且满足
(
为坐标原点),当
时,求实数
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线l:mx﹣y=1,若直线l与直线x+m(m﹣1)y=2垂直,则m的值为_____,动直线l:mx﹣y=1被圆C:x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为_____.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在边长为2的正方形ABCD中,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使得平面A′DE⊥平面BCDE,F为线段A′C的中点.
(Ⅰ)求证:BF∥平面A′DE;
(Ⅱ)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线x2=8
y的焦点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线x=﹣2与椭圆交于P,Q两点,A,B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点,若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了研究某种药物,用小白鼠进行试验,发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。若使用注射方式给药,则在注射后的3小时内,药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式:
,若使用口服方式给药,则药物在白鼠血液内的浓度
与时间t满足关系式:
现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物,且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。
(1)若a=1,求3小时内,该小白鼠何时血液中药物的浓度最高,并求出最大值?
(2)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4,求正数a的取值范围。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com