Question

【题目】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．

（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；

（Ⅱ）求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取A'D的中点M，连接 FM，EM，由已知得四边形BFME为平行四边形，由此能证明BF∥平面A'DE．

（Ⅱ）在平面BCDE内作BN⊥DE，交DE的延长线于点N，则BN⊥平面A'DE，连接A'N，∠BA'N为A'B与平面A'DE所成的角，由此能求出直线A'B与平面A'DE所成角的正切值．

（Ⅰ）证明：取A'D的中点M，连接 FM，EM．

∵F为A'C中点，∴FM∥CD且，

∴BE∥FM且BE＝FM，∴四边形BFME为平行四边形,∴BF∥EM，

又EM平面A'DE，BF平面A'DE，

∴BF∥平面A'DE.

（Ⅱ）在平面BCDE内作BN⊥DE，交DE的延长线于点N，

∵平面A'DE⊥平面BCDE，平面A'DE∩平面BCDE＝DE，

∴BN⊥平面A'DE，连接A'N，

则∠BA'N为A'B与平面A'DE所成的角，

∵△BNE∽△DAE，BE＝1，，∴.

在△A'DE中作A'P⊥DE垂足为P，∵A'E＝1，A'D＝2，

∴，∵，∴在直角△A'PN中，，

又，∴,

∴在直角△A'BN中，，

∴直线A'B与平面A'DE所成角的正切值为．