Question

已知f（x）=x²-2ax+4+2a在区间[0，+∞）上的最小值为1，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：求出f（x）图象的对称轴为x=a，根据区间分a≤0、a＞0两种情况，分别利用二次函数的性质求出它的最小值，从而得出结论．

解答： 解：由题意得，f（x）图象的对称轴为x=a，
①当a≤0时，f（x）的图象在区间[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=4+2a=1，解得a=-

3

2

，符合条件；
②当a＞0时，f（x）的图象在区间[0，a]上单调递减、在区间（a，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（a）=a²-2a²+4+2a=1，
即a²-2a-3=0，解得a=3或-1，a=-1舍去，则a=3，
综上可得，实数a的值是-

3

2

或3．

点评：本题主要考查求二次函数在给定区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．