Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线L交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值-

p

2

，从而得到两切线交点的轨迹方程．

解答： 解：由抛物线x²=2py得其焦点坐标为F（0，

p

2

）．
设A（x₁，

x12

2p

），B（x₂，

x22

2p

），
直线l：y=kx+

p

2

，代入抛物线方程，得：x²-2kpx-p²=0．
∴x₁x₂=-p²…①．
又抛物线方程求导得y′=

x

p

，
∴抛物线过点A的切线的斜率为

x1

p

，切线方程为y-

x12

2p

=

x1

p

（x-x₁）…②
抛物线过点B的切线的斜率为

x2

p

，切线方程为y-

x22

2p

=

x2

p

（x-x₂）…③
由①②③得：y=-

p

2

．
∴l₁与l₂的交点P的轨迹方程是y=-

p

2

．

点评：本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．