Question

已知椭圆C：

x2

4

+y²=1的短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M（m，

1

2

）满足m≠0，且m≠±

3

．
（1）用m表示点E，F的坐标；
（2）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关．
（3）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）直线AM的斜率为k₁=-

1

2m

，直线BM斜率为k₂=

3

2m

，直线AM的方程为y=-

1

2m

x+1，直线BM的方程为y=

3

2m

x-1，由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

，得F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

）．
（Ⅱ）由已知条件求出直线EF的斜率k=-

m2+3

4m

，直线EF的方程为y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)，由此能证明EF与y轴交点的位置与m无关．
（Ⅲ）S_△BMF=

1

2

|MA||MF|sin∠AMF，S_△BME=

1

2

|MB||ME|sin∠BME，由5S_△AMF=S_△BME，得

1

m2+1

=

15

m2+9

-1，由此能求出结果．

解答： （Ⅰ）解：∵A（0，1），B（0，-1），M （m，

1

2

），且m≠0，
∴直线AM的斜率为k₁=-

1

2m

，直线BM斜率为k₂=

3

2m

，
∴直线AM的方程为y=-

1

2m

x+1，直线BM的方程为y=

3

2m

x-1，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0，x=

4m

m2+1

，∴E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），
由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

，得（9+m²）x²-12mx=0，
∴x=0，x=

12m

m2+9

，∴F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

）．
（Ⅱ）证明：据已知，m≠0，m²≠3，
∴直线EF的斜率k=

m2-1 1+m2 - 9-m2 9+m2

4m 1+m2 - 12m 9+m2

=

(m2+3)(m2-3)

-4m(m2-3)

=-

m2+3

4m

，
∴直线EF的方程为y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)，
令x=0，得y=2，∴EF与y轴交点的位置与m无关．
（Ⅲ）解：∵S_△BMF=

1

2

|MA||MF|sin∠AMF，
S_△BME=

1

2

|MB||ME|sin∠BME，
∵∠AMF=∠BME，5S_△AMF=S_△BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，
∴

5m

4m m2+1 -m

=

m

12m 9+m2 -m

，∵m≠0，
∴整理方程得

1

m2+1

=

15

m2+9

-1，即（m²-3）（m²-1）=0，
又∵m≠±3，∴m²-3≠0，
∴m²=1，∴m=±1为所求．

点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线与y轴交点与实数m无关，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．