Question

已知函数f(x)=alog2x，且关于x的方程

a

f(x)

+2=

f(x)

a2

有两个相同的实数解，数列{a_n}的前n项和s_n=1+f（n+1），n∈N*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试确定数列{a_n}中n的最小值m，使数列{a_n}从第m项起为递增数列；
（3）设数列b_n=1-a_n，一位同学利用数列{b_n}设计了一个程序，其框图如图所示，但小明同学认为
这个程序如果执行将会是一个“死循环”（即一般情况下，程序将会永远循环下去而无法结束）．
你是否赞同小明同学的观点？请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）原方程化为：

1

a

lo

g

2 2

x-2log2x-1=0(a≠0)根据有两个相同的实数解其根的判别式等于0求出a 值，从而求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由于

n

n+1

=1-

1

n+1

⇒{

n

n+1

}↑是单调增数列，又a1=0，a2=log2

2

3

，是a1＞a2从而得出{a_n}为递增数列（n≥2）即得；
（3）赞同小明同学的观点．利用方程b_n=n（n≥2，n∈N*）无解，从而得出结论：这个程序如果执行将会是一个“死循环”．

解答：解：（1）原方程化为：

1

a

lo

g

2 2

x-2log2x-1=0(a≠0)
由△=0⇒4+

4

a

=0⇒a=-1…（2分）
f（x）=-log₂x⇒S_n=1-log₂（n+1）
由此求得：

a

n

=

0  & & &(n=1) log2 n n+1 (n≥2)

…（4分）
（2）∵

n

n+1

=1-

1

n+1

⇒{

n

n+1

}↑是单调增数列…（3分）
又a1=0，a2=log2

2

3

，是a1＞a2
∴{a_n}为递增数列（n≥2）…（1分）
∴m=2…（1分）
（3）赞同小明同学的观点…（1分）
∵n≥2∴bn=1-an=1-log2

n

n+1

=log2

2(n+1)

n

…（1分）
bn=n⇒log2

2(n+1)

n

=n⇒2n=

2(n+1)

n

≤

2(2+1)

2

=3…（2分）
又2ⁿ≥4（n≥2）…（2分）
∴方程b_n=n（n≥2，n∈N*）无解…（1分）

点评：本小题主要考查数列的函数特性、函数单调性的应用、循环结构等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．