Question

18．在（2x-3y）¹⁰的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

Answer 1

分析 设（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰ （*）
各项系数和为a₀+a₁+…+a₁₀，奇数项系数和为a₀+a₂+…+a₁₀，偶数项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉，x的奇次项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉，x的偶次项系数和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀．
由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．

解答 解：设（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰ （*）
各项系数和为a₀+a₁+…+a₁₀，奇数项系数和为a₀+a₂+…+a₁₀，偶数项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉，
x的奇次项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉，x的偶次项系数和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀．
（1）二项式系数和为${C}_{10}^{0}$+${C}_{10}^{1}$+…+${C}_{10}^{10}$=2¹⁰．
（2）令x=y=1，各项系数和为（2-3）¹⁰=（-1）¹⁰=1．
（3）奇数项的二项式系数和为${C}_{10}^{0}$+${C}_{10}^{2}$+…+${C}_{10}^{10}$=2⁹，
偶数项的二项式系数和为${C}_{10}^{1}+{C}_{10}^{3}$+…+${C}_{10}^{9}$=2⁹．
（4）设（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰
令x=y=1，得到a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=1       ①
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）
得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰             ②
①+②得2（a₀+a₂+…+a₁₀）=1+5¹⁰，
∴奇数项的系数和为$\frac{1+{5}^{10}}{2}$；
①-②得2（a₁+a₃+…+a₉）=1-5¹⁰，
∴偶数项的系数和为$\frac{1-{5}^{10}}{2}$．
（5）x的奇次项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉=$\frac{1-{5}^{10}}{2}$；
x的偶次项系数和为a₀+a₂+a₄+…+a₁₀=$\frac{1+{5}^{10}}{2}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了利用特值法求二项展开式中项的系数，是中档题．