Question

关于x的不等式x²-4mx+4≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：将不等式转化为x²+4≥4mx，即m≤

x2+4

4x

=

x

4

+

1

x

在∈[1，+∞）恒成立，利用基本不等式进行求解即可．

解答：解：要使不等式x²-4mx+4≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，
即x²+4≥4mx，
∴m≤

x2+4

4x

=

x

4

+

1

x

在∈[1，+∞）恒成立，
∵

x

4

+

1

x

≥2

x 4 • 1 x

=2•

1 4

=2×

1

2

=1，
当且仅当

x

4

=

1

x

，即x²=4，x=2时取等号．
∴m≤1．
即实数m的取值范围为（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，利用基本不等式的性质求解最小值是解决本题的关键．