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    已知△ABC是边长为1的正三角形，将BC边n等分，沿从B到C的方向的分点依次为P1、P2、P3、…、Pn-1，设Sn=
    AB
    •
    AP1
    +
    AP1
    •
    AP2
    +
    AP2
    •
    AP3
    …+
    APn-1
    •
    AC
    ，求证：Sn=
    5n2-2
    6n
    （n∈N+，n≥2）．
    考点：数列的求和,平面向量数量积的运算
    专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用
    分析：利用平面向量的数量积运算求得
    APk
    •
    APk+1
    =（
    AB
    +k
    BP1
    ）[
    AB
    +（k+1）
    BP1
    ]=
    AB
    2    +（2k+1）
    AB
    •
    BP1
    +k（k+1）
    BP1
    2    =1-
    2k+1
    2n
    +
    k2+k
    n2
    ，再利用数列求和即可得出结论．
    解答： 解：
    APk
    •
    APk+1
    =（
    AB
    +k
    BP1
    ）[
    AB
    +（k+1）
    BP1
    ]=
    AB
    2    +（2k+1）
    AB
    •
    BP1
    +k（k+1）
    BP1
    2    =1-
    2k+1
    2n
    +
    k2+k
    n2
    ，
    ∴Sn=
    AB
    •
    AP1
    +
    AP1
    •
    AP2
    +
    AP2
    •
    AP3
    …+
    APn-1
    •
    AC
    =
    AB
    •
    AP1
    +（n-1）-
    3+5+7+…+(2n-1)
    2n
    +
    (1+1)+(22+2)+…+(n2-n)
    n2

    =1-
    1
    2n
    +n-1-
    (n+1)(n-1)
    2n
    +
    n(n-1)
    2
    +
    n(n-1)(2n-1)
    6
    n2
    =
    5n2-2
    6n
    （n∈N+，n≥2）．
    点评：本题主要考查平面向量的运算及数列求和的知识，考查学生的运算求解能力，属难题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=（m-3）ex，g（x）=2ax+1+blnx，其中m，a，b∈R，x＞0．曲线g（x）在x=1处的切线方程为y=3x
    （1）求函数g（x）的解析式；
    （2）当k≤0时，求h（x）=
    1
    2
    kx2+g（x）的单调区间；
    （3）若f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，平面ABC⊥平面DBC，已知AB=AC，BC=6，∠BAC=∠DBC=90°，∠BDC=60° 
    （1）求证：平面ABD⊥平面ACD；
    （2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值；
    （3）记经过直线AD且与BC平行的平面为α，求点B到平面α的距离．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    一个袋子中有3个红球和2个黄球，5个球除颜色外完全相同，甲、乙两人先后不放回地从中各取1个球．规定：若两人取得的球的颜色相同则甲获胜，否则乙获胜．
    （1）求两个人都取到黄球的概率；
    （2）计算甲获胜的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，一艘轮船在某海岛附近的海上匀速直线航行，海岛上一观察哨A在上午11时测得轮船在海岛北偏东60°的B处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60°的C处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距离海岛5海里的D港口．
    （Ⅰ）求证：S△ABC=4S△ACD；
    （Ⅱ）求轮船的速度（单位：海里/小时）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（2ωx+
    π
    6
    ）（ω＞0），直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
    π
    2
    ．
    （1）求函数f（x）的单调增区间；
    （2）求使不等式f（x）≥
    		3
    2
    的x的取值范围．
    （3）若f（α）=
    1
    3
    ，α∈[-
    π
    3
    ，
    π
    6
    ]，求f（α+
    π
    6
    ）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（1，-1），
    b
    =（λ，1），
    （1）当
    a
    ⊥
    b
    时，求λ的值．
    （2）若
    a
    与
    b
    的夹角α为钝角，求λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F为抛物线E：y2=2px（P＞0）的焦点，抛物线上点G的横坐标为2，且满足|GF|=3．
    （Ⅰ）求抛物线E的方程；
    （Ⅱ）M点的坐标为（2，0），过点F作斜率为1K的直线与抛物线交于A、B两点，A、B两点的横坐标均不为2，连结AM、BM并延长交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k2，判断
    k1
    k2
    是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=
    log2x    x＞0
    4x      x≤0
    ，则f[f（
    1
    4
    ）]=
     
    ．

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