Question

已知函数f（x）=sin（2ωx+

π

6

）（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）求使不等式f（x）≥

3

2

的x的取值范围．
（3）若f（α）=

1

3

，α∈[-

π

3

，

π

6

]，求f（α+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得函数的周期为T=

2π

ω

=2×

π

2

，求得ω的值，可得函数f（x）=sin（2x+

π

6

）．令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 x的范围，可得函数的增区间．
（2）由不等式可得2kπ+

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

，求得x的范围，即可求得不等式的解集．
（3）由条件可得 2α+

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，cos（2α+

π

6

）=

2 2

3

，根据f（α+

π

6

）=cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]，计算求得结果．

解答： 解：（1）由题意可得函数的周期为T=

2π

ω

=2×

π

2

，∴ω=2，∴函数f（x）=sin（2x+

π

6

）．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）由不等式f（x）≥

3

2

，可得2kπ+

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

，
求得  kπ+

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，k∈z，
故不等式的解集为[kπ+

π

12

，kπ+

π

4

]，k∈z．
（3）若f（α）=sin（2α+

π

6

）=

1

3

，α∈[-

π

3

，

π

6

]，∴2α+

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cos（2α+

π

6

）=

2 2

3

，
∴f（α+

π

6

）=sin（2α+

π

2

）=cos2α=cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]=cos（2α+

π

6

）cos

π

6

+sin（2α+

π

6

）sin

π

6

=

2 3

3

×

3

2

+

1

2

×

1

3

=

2 6 +1

6

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，属于基础题．