Question

（文科做）已知函数f（x）=lnx+a，g（x）=ax，a∈R．
（1）若a=1，设函数F(x)=

f(x)

g(x)

，求F（x）的极大值；
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x），讨论G（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求F（x）的极大值；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出函数的单调性．

解答： 解：（1）当a=1时，F(x)=

lnx+1

x

，定义域为x∈（0，+∞），
则F′(x)=

-lnx

x2

．…（2分）
令F'（x）=0得x=1，列表：…（4分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	极大值	↘

当x=1时，F（x）取得极大值F（1）=1．…（7分）
（2）G（x）=lnx+a-ax（x＞0），∴G′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，x＞0．     …（9分）
若a≤0，G'（x）＞0，G（x）在（0，+∞）上递增；                …（11分）
若a＞0，当x∈(0，

1

a

)时，G'（x）＞0，G（x）单调递增；
当x∈(

1

a

，+∞)时，G'（x）＜0，G（x）单调递减．                 …（14分）
∴当a≤0时，G（x）的增区间为（0，+∞），
当a＞0时，G（x）的增区间为(0，

1

a

)，减区间为(

1

a

，+∞)．       …（16分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的单调性，正确求导是关键．