Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．
（1）求证：CM∥平面BEF；
（2）求证：三棱锥F-ABE的体积．
（3）求BE与平面PAB所成角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，E为PC中点，FA=2FP，FE∥CG，根据线面平行的判定定理推断出CG∥面BEF．同理可证GM∥面BEF．又GC∩GM=G，进而可知面CMG∥面EFB，进而根据面面平行的性质推断出CM∥面BEF．
（2）由PB⊥底面ABV，且AC?底面ABC，推断出AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，又PB∩CB=B，推断出AC⊥平面PBC，BE?平面PBC，进而可知AC⊥BE，PB=BC，E为PC中点，可知BE⊥PC，根据线面垂直的判定定理推断出BE⊥平面PAC，又由已知可得BE=2

2

．求得三角形AEF的面积则利用等体积法求得三棱锥F-ABE的体积．
（3）由AC=BC，且M为AB中点，推断出CM⊥AB，又PB⊥面ABC，CM?ABC，根据线面垂直的判定定理知CM⊥面ABP由于E为PC中点，所以点E到面PAB的距离为点C到面PAB的距离的

1

2

，求得sinθ=

1

2

，则BE与平面PAB所成角可求．

解答： （1）证明：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，
∵E为PC中点，FA=2FP，
∴FE∥CG．
∵CG?面BEF，EF?面BEF，∴CG∥面BEF．
同理可证：GM∥面BEF．又GC∩GM=G，
∴面CMG∥面EFB．
∵CM?面CMG，∴CM∥面BEF．
（2）证明：∵PB⊥底面ABV，且AC?底面ABC，
∴AC⊥PB，
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，
又∵PB∩CB=B，
∴AC⊥平面PBC，BE?平面PBC，
∴AC⊥BE，
∵PB=BC，E为PC中点，
∴BE⊥PC，
∵PC∩AC=C，
∴BE⊥平面PAC，
又由已知可得BE=2

2

．S△_AEF=

1

3

S_△PAC=

1

3

×

1

2

AC•PC=

8 2

3

，
∴V_F-ABE=V_B-AEF=

1

3

S_△AEF•BE=

32

9

，
∴三棱锥F-ABE的体积为

32

9

．
（3）解：∵AC=BC，且M为AB中点，
∴CM⊥AB
又∵PB⊥面ABC，CM?ABC，
∴CM⊥PB，AB∩PB=B，
∴CM⊥面ABP
由于E为PC中点，所以点E到面PAB的距离为点C到面PAB的距离的

1

2

，
∴hE=

1

2

CM=

2

，EB=

1

2

CP=2

2

，sinθ=

1

2

则BE与平面PAB所成角为30°．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理，棱锥体积的求法，线面平行的判定．考查了学生对基础知识的综合运用．